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| ASTRONOMIE |
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| Compliquer (le 17/11/2005 à 20h19) |
Le modèle du big bang
1 - L'équation de Friedmann
La métrique de Robertson-Walker
La théorie du Big-Bang repose sur les hypothèses suivantes :
* l'univers est – en première approximation – homogène et isotrope (principe cosmologique);
* sa structure métrique est déterminée par le
contenu matériel de l’univers via l’équation d’Einstein de la
relativité générale;
* la gravitation est – en première approximation – la seule force dominante à l’échelle cosmique.
Friedmann
Friedmann montra en 1922 que cela conduit, pour un univers de courbure
positive (univers fermé), à un univers en évolution, pouvant être soit
en expansion soit en contraction. Si on extrapole dans le passé
l’expansion actuellement observée, on en déduit l’existence d’une phase
extrêmement dense, aboutissant à une singularité, le "big bang". En
extrapolant dans le futur on aboutit aussi à une singularité, le "big
crunch". L'univers est ainsi fermé dans le temps comme dans l'espace.
Friedmann étudia en 1924 le cas d'une courbure négative (univers
ouvert), qui possède une singularité dans le passé mais conduit à une
expansion continuelle dans le futur. L'univers est ainsi ouvert dans le
temps comme dans l'espace.
LemaîtreSans connaître les travaux de Friedmann, Lemaître redécouvrit
en 1925-1927 l'existence des solutions décrivant un univers en
expansion. Plus au fait des observations astronomiques de l'époque (en
particulier les observations de Slipher montrant que la plupart des
"nébuleuses" avaient des décalages importants vers le rouge), il a
relié ce mouvement de fuite des galaxies à une expansion générale de
l'univers et donné une première estimation de la constante de Hubble :
sa valeur voisine de 60 km/s/Mpc correspond dans un modèle simple à un
âge de l'univers inférieur à 2x109 ans, beaucoup trop jeune au vu des
datations radioactives des roches donnant à la Terre un âge de 5x109
ans. Lemaître utilisa donc la constante cosmologique introduite par
Einstein pour "allonger" cet âge de l'univers. Il exploita aussi la
découverte contemporaine de la mécanique quantique pour imaginer
l'univers proche de la singularité comme un "Atome primordial". Comme
Friedmann, il eut aussi quelque difficulté à faire admettre ses thèses,
en particulier à Einstein et à Eddington que l'idée de commencement de
l'univers révulsait. Lemaître a toujours soigneusement séparé ses
convictions religieuses (il était prêtre) de ses travaux scientifiques,
mais ses opposants ont souvent pratiqué un amalgame entre les deux.
Lemaître et Einstein
Georges Lemaître (avec Albert Einstein à droite)
Le principe cosmologique est une hypothèse si forte qu’elle suffit à
déterminer la métrique de l’espace-temps. Cette métrique, due à
Robertson et Walker, peut s'écrire :
ds2 = gmn dxm dxn = c2 dt2 - a2(t) [dr2/(1-kr2) + r2(dq2 + sin2qdj2)]
Le "paramètre d'échelle" ou "facteur d’échelle" a(t) relie les
coordonnées "comobiles" [r,q,j] à la distance physique des objets. Sa
variation au cours du temps est déterminée par la théorie de la
gravitation (la relativité générale est généralement choisie) et par le
contenu matériel de l’univers à chaque instant (plus précisément par
l’équation d’état de la matière).
Les solutions de l'équation d'Einstein
La cosmologie s'est longtemps limitée à rechercher des solutions de
l’équation d'Einstein satisfaisant à la métrique de Robertson-Walker,
c'est à dire trouver l'évolution du paramètre d'échelle a(t).
On part de l’équation d'Einstein qui relie le tenseur d'Einstein Gmn
construit à partir de la métrique gmn (et complété d'une éventuelle
constante cosmologique L) à la distribution de matière décrite par le
tenseur énergie-impulsion Tmn :
Gmn ( † Rmn - R gmn — L gmn ) = 8 ¼ G Tmn
La forme de la métrique de Robertson-Walker simplifie considérablement
cette équation : les composantes G0i sont nulles de même que les
composantes Gij pour i‚j et les 3 composantes Gii sont identiques. Il
n'y a donc que deux composantes à considérer, G00 et Gii (et encore :
elles sont reliées par l'identité de Bianchi qui traduit l'invariance
par reparamétrisation de l'équation d'Einstein).
La métrique de Robertson-Walker correspond à un univers homogène empli
d’un fluide parfait de densité r et de pression P, dont le tenseur
énergie-impulsion est simplement Tmn = (r + P)VmVn - Pgmn . Ce fluide
au repos (dans les coordonnées comobiles) a pour quadri-vitesse Vm =
dxm/ds = [1,0,0,0] .
Donc T00 = r, Tij = — P gij et T0i = 0 . Bien sûr, on retrouve
les deux mêmes composantes pertinentes que pour le tenseur d'Einstein.
La dérivée covariante du tenseur énergie-impulsion est nulle: Dm Tmn =
0 ce qui traduit la conservation locale de l'énergie.
La composante (00) de l’équation d'Einstein donne :
3 2 + 3 - L = 8 p G r xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
que l'on écrit plus souvent sous la forme de Friedmann :
2 = r — + xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
C'est l'équation fondamentale de la cosmologie d'un univers homogène et
isotrope, et elle permet de calculer l'évolution au cours du temps du
paramètre d'échelle a(t). Sans aller plus loin, l'inspection de cette
équation permet quelques remarques de grande portée :
* Le membre de gauche n'est pas autre chose que le
carré de la constante de Hubble (constante dans l'espace mais non dans
le temps) au temps t, H(t) = /a .
* Les trois termes du membre de droite dépendent
différemment de a : la densité d'énergie r diminue rapidement quand a
augmente [généralement comme 1/a3 ou 1/a4], le terme de courbure
spatiale k/a2 diminue moins vite, et le terme constant L est… constant.
Dans un univers où le paramètre d'échelle peut tendre vers zéro
(modèles de big bang proprement dit), ce sont les termes de densité qui
sont seuls importants à l'approche de cette singularité. Loin d'elle,
le terme de courbure devient prédominant puis – éventuellement – le
terme de constante cosmologique.
* Si la courbure est positive (k = +1) l'expansion
peut s'arrêter, passer par un maximum (quand = 0) avant de se
transformer en contraction. Mais il peut aussi s'agir d'un minimum (une
contraction devenant une expansion).
Revenons à l'équation d'Einstein. Les composantes (0i) sont
identiquement nulles de même que les composantes (i,j) pour i‚j, et les
composantes (ii) de l’équation d’Einstein donnent une seconde équation :
2 + 2 + - L = — 8 p G P xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
On peut la combiner avec l'équation de Friedmann pour obtenir l'accélération :
= - [r + 3P] a + xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Cette équation, qui n'est rien d'autre que la trace de l'équation
d'Einstein 2R + 2L = 8¼G [r + 3P] , a une interprétation newtonnienne
possible (quoique légèrement abusive), et je l'appellerai par la suite
"l'équation de Newton".
En effet pour un univers empli de matière non-relativiste la (densité
d'énergie de la) pression est négligeable devant la densité d'énergie
de masse, et le premier terme du membre de droite n'est pas autre chose
que la masse M de matière dans une sphère de rayon a divisée par a2 et
multipliée par G, c'est donc l'accélération newtonnienne d'une
particule à la surface de cette sphère. Si on imagine que l'on a
découpé cette sphère dans un univers euclidien infini, et que l'on
considère comme nulle la contribution de la matière extérieure à la
sphère à l'accélération de la particule (théorème de Newton, qui est
ici utilisé en dehors de son domaine de validité), l'accélération
gravitationnelle est bien celle que l'on obtiendrait en physique
newtonnienne. Quand au second terme du membre de droite, il décrit une
répulsion dont l'intensité augmente linéairement avec la distance.
Enfin, pour un gaz relativiste P = r/3 , et l'accélération est le
double du cas non-relativiste : l'évolution d'un tel univers est donc
plus rapide, comme nous le retrouverons plus loin.
On peut encore combiner les composantes (0,0) et (i,i) différemment en
commençant par dériver par rapport au temps l'équation de Friedmann :
2 + k = r a2 Æ 2 = [ a2 + 2 a r ] xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
en oubliant L pour l'instant. En injectant cela dans la composante (i,i) :
— 8pG P = 2 + 2 + = + r xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
on obtient :
- 3 P = 3 r + Æ 3 P a2 + 3 r a2 + a3 = 0 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
soit tout simplement :
P d(a3) + d(ra3) = P dV + dU = 0
Cette équation n'est autre que la conservation de l'énergie ! L'univers
n'échange pas de chaleur avec l'extérieur. Si on se rappelle que dU =
TdS - PdV , on obtient dS = 0 . L'expansion de l'univers est
adiabatique et son entropie totale reste conservée. Nous y reviendrons.
Et avec une constante cosmologique ? Elle se comporte comme un fluide
de densité constante rV = L/(8¼G) et de pression négative PV = -rV .
Pour elle, P dV + dU † 0.
2 - Solutions simples
Pour résoudre l’équation de Friedmann ou "l'équation de Newton", une
équation d'état est nécessaire pour relier pression et densité et on
peut l'obtenir, par exemple, à partir de la conservation de l'énergie
dU + PdV = 0.
Trois cas limites sont intéressants:
1) constante cosmologique (ou densité d'énergie du "vide") où P = - r = Cte.
2) matière non-relativiste (ou "poussière") où la pression est négligeable devant la densité Æ r µ 1/a3.
3) matière relativiste (ou "rayonnement") où P = r/3 Æ r µ 1/a4.
Domination d'une constante cosmologique
Evolution du param. d'échelle
Ce cas (alors considéré comme un univers statique) a été étudié par de
Sitter dès 1917, avec k = +1 , L > 0 et r = 0 (univers vide de
courbure spatiale positive).
L’équation de Friedmann s'intègre alors facilement :
2 = — + Þ a(t) = H-1 ch{ H t } avec H2 = L/3 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Il n'y a pas de singularité dans un tel modèle puisque a(t) ne s'annule
pas. Cet univers est spatialement fermé mais ouvert dans le temps.
Remarquons que le paramètre d'échelle a(t) passe par une valeur
minimale amin = H-1 et par suite le redshift passe par une valeur
maximale (la constante arrête la contraction et fait "rebondir"
l’univers). Les redshifts observés impliquent alors une borne
supérieure sur la valeur de la constante cosmologique de l'ordre de H02
(H0 étant la valeur actuelle de la constante de Hubble).
Le cas k = +1 avec L < 0 est impossible, tandis que la situation k =
-1 avec L < 0 décrit un univers spatialement ouvert mais fermé dans
le temps, où le paramètre d'échelle donné par a(t) = H-1 cos{H t}, avec
cette fois H2 = -L/3, s'annule au temps t = ±H-1/2¼. Enfin, le cas k =
-1 et L > 0 est un univers en accélération permanente.
Ce sont aussi les solutions k = ±1 et L > 0 que l'on retrouve dans
la théorie de l’état stationnaire proposée par Hoyle, Bondi et Gold.
Dans ce modèle en effet, l'univers a une densité d'énergie r constante
et une pression négligeable. D’autre part, cet univers de de Sitter est
important dans le contexte de l'inflation où l’univers est supposé
avoir été dominé — brièvement, et à une époque reculée — par une
importante constante cosmologique.
Enfin, les résultats récents sur les supernovae lointaines
indiqueraient que, dans l'équation de Friedmann, les contributions du
terme de densité 8¼Gr/3, du terme de courbure k/a2 et la constante
cosmologique L seraient aujourd'hui du même ordre de grandeur. En ce
cas la constante cosmologique dominera bientôt l'expansion de l'univers.
Domination de la matière non-relativiste
Pour la matière non-relativiste, la pression est négligeable en
comparaison de la densité d'énergie (essentiellement la masse des
particules) et l'équation dU + PdV = 0 se réduit à d(ra3) = 0 .
Autrement dit, r(t) µ 1/a3(t) . Dans ce cas, le terme de courbure k/a2
et la constante cosmologique sont négligeables devant la densité
d’énergie quand a Æ 0 et l'équation de Friedmann se résout
immédiatement :
Þ a(t) µ t2/3
Ce serait encore la situation actuelle, si le terme de courbure et la constante cosmologique étaient négligeables.
A partir de l’équation de Friedmann, on définit une densité critique rc
† 3H2/8pG, correspondant à un univers spatialement plat (k=0) et sans
constante cosmologique (L=0). On définit aussi W comme le rapport r/rc
de la densité réelle à la densité critique. En l’absence de constante
cosmologique, k = 1 ¤ W > 1 et k = - 1 ¤ W < 1.
Numériquement, rc ‰ 2¥10-29 h2 g/cm3 (h † H0 / 100 km/s/Mpc). La
densité moyenne de l'univers est une question non résolue : si la
densité de matière sous forme d’étoiles rétoiles ne semble pas dépasser
10-32 g/cm3, il semble y avoir 10 à 100 fois plus de matière sombre que
de matière lumineuse.
L'équation de Friedmann (2 = Cte/a — k) se résout sous forme paramétrique :
pour k = 1, et pour k = - 1
Pour h " 1, on retrouve a(t) µ t2/3 car la courbure est négligeable.
Puisque pour k = 1, 0 < h < 2¼ , une taille maximale amax est
atteinte pour h = p à tmax = amax. L’univers se collapse ensuite et on
retrouve a = 0 au temps tBig-Crunch = 2 tmax. Pour k = - 1, 0 < h
< ƒ, et amax est un paramètre qui n’a plus le sens d’un rayon
maximal. Pour h Æ ƒ , a(t) µ t car l’univers est quasiment vide et la
gravitation ne freine plus l’expansion.
Domination du rayonnement
Pour la matière relativiste (génériquement appelée rayonnement), la
pression P = r/3 et l'équation de conservation de l'énergie dU + PdV =
0 s'écrit :
d(ra3) + d(a3) = 0 Þ = -4 Þ r(t) µ xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Ce n'est pas très surprenant : la densité numérique de particules
relativistes décroît en 1/a3, tandis que leur énergie individuelle
décroît en 1/a (pensons au redshift des photons pour qui l µ a et donc
hn µ 1/a). Caveat : on suppose implicitement ici que ces particules
relativistes ne sont ni créées ni détruites.
L'équation de Friedmann se résout alors immédiatement quand le terme de
courbure k/a2 et la constante cosmologique sont négligeables devant la
densité d’énergie (en particulier quand a Æ 0 )
Þ a(t) µ t1/2
La densité d'énergie dans le rayonnement à 2.73 K est aujourd'hui rg ‰
4.4¥10-34 g/cm3, ce qui est négligeable devant rétoiles et correspond
environ à 3¥109 photons par nucléon. La densité d’énergie dans le
rayonnement des étoiles est beaucoup plus faible encore. Mais comme rg
(µ a-4) domine rmatière (µ a-3) et rvide (constante) quand a Æ 0,
l'univers fut dominé par le rayonnement pendant 100 000 ans, environ.
Le moment zeq où matière et rayonnement contribuaient également se
calcule simplement en écrivant rg0 [1+zeq]4 = rmatière0[1+zeq]3 ce qui
donne zeq = 25 000 Wmatièreh2.
3 - Questions de température
L'expansion est donc adiabatique, ce qui fournit une relation entre la
température T et le paramètre d'échelle a . les règles habituelles de
la thermodynamique nous permettent d'écrire pour une transformation
adiabatique T ~ V1-g où T est la température, V le volume et g le
rapport des chaleurs spécifiques. Pour un gaz parfait non-relativiste,
g = 5/3 , tandis que pour un gaz relativiste (des photons par exemple)
g = 4/3 . Cela nous donne la relation entre température et paramètre
d'échelle :
* pour un gaz non-relativiste T µ a-2
* pour un gaz relativiste T µ a-1
On se souvient que les vitesses particulières v des objets (particules
ou galaxies) diminuent comme v ~ 1/a au cours de l'expansion. La
température du gaz étant reliée à ces vitesses par 3kT/2 = mv2/2 , on
retrouve bien T µ a-2 pour un gaz non-relativiste. Quant au gaz
relativiste, sa densité d'énergie est proportionnelle à T4 selon la loi
de Stefan, et elle décroît bien comme 1/a4 pendant l'expansion.
Cela implique que la température de l'univers augmente à l'infini quand a Æ 0 .
Le big bang est un big bang chaud !
Gamow
Lemaître avait bien réalisé que l'état de densité très élevé qu'il
imaginait (le big bang) devait être un état très chaud, mais les
aspects thermodynamiques du big bang n'ont été élaborés qu'ensuite dans
les années 30 (par Tolman en particulier) et c'est Gamow qui a compris
toutes les conséquences d'un big bang chaud. Il a en effet saisi que la
température moyenne de l'univers pouvait avoir dépassé le seuil des
réactions thermonucléaires, et qu'un univers initialement composé
uniquement de nucléons avait pu engendrer des noyaux plus lourds.
Seulement, on sait aujourd'hui (grâce aux travaux de Hoyle, Fowler,
Burbidge et Burbidge) que cette nucléosynthèse primordiale ne peut
aller plus loin que le lithium, et que les noyaux plus lourds sont
synthétisés dans les étoiles.
Hoyle
La notion de température suppose d'abord qu'il existe un équilibre
thermodynamique entre particules, et donc que le taux d'interaction
entre ces particules soit assez rapide pour l'assurer (compte-tenu du
temps limité dont on dispose et de l'expansion qui dilue ces
particules). Différentes populations de particules peuvent fort bien
être en équilibre thermique interne (et avoir ainsi une température
bien définie) mais ne pas être en équilibre entre elles (et avoir donc
des températures différentes). De quoi parle-t-on alors quand on parle
de "la" température de l'univers ?
Il se trouve (hasard ?) que les interactions connues entre particules
(électromagnétique, forte et faible) assurent un équilibre
thermodynamique entre quarks, leptons et bosons de jauge à des
températures "suffisamment hautes". Un équilibre thermique global
existe ainsi pendant la première seconde de l'histoire de l'univers
dans le modèle du big bang. Quand cet équilibre cesse d'être assuré,
les particules désormais "découplées" vivent leur vie indépendamment
des autres, et leurs températures évoluent indépendamment. On a ainsi
plusieurs températures aujourd'hui : les photons sont à T ‰ 2.7 K, les
neutrinos à T ‰ 2 K, les baryons à des températures allant de quelques
K (gaz interstellaire froid) à quelques millions de K (centre des
étoiles), etc.
Il existe donc une époque où la matière non-relativiste (des baryons et
des électrons par exemple) est couplée au rayonnement (les photons par
exemple). Qui fixe la variation de leur température commune avec le
paramètre d'échelle ? Il se trouve (hasard ?) que les photons sont
beaucoup plus nombreux que les baryons et les électrons, environ 109
fois plus nombreux, et que ce sont eux qui fixent la température. En
fait, l’observation indique que l’essentiel de l'entropie S de
l’univers se trouve dans le rayonnement cosmologique à 2.7 K. Comme la
densité d’entropie du rayonnement d’un corps noir varie comme T3, on
retrouve encore :
S µ a3 T3 = constante Þ T(t) µ
Parenthèse : on peut s'inquiéter à bon droit d'un modèle de big bang
dans lequel l'entropie est conservée, alors que notre entourage
manifeste une forte tendance à voir son entropie croître. En fait les
processus irréversibles qui nous entourent augmentent l'entropie, mais
cette augmentation est négligeable en comparaison de l'entropie
"stockée" dans le rayonnement cosmologique à 2.7 K, puisque celle-ci
correspond à une entropie par baryon de l'ordre de 109 alors qu'elle
est d'ordre 1 pour les processus thermodynamiques courants. D'autre
part, le second principe de la thermodynamque qui stipule
l'augmentation d'entropie des systèmes isolés est d'application
délicate pour un système gravitationnel dont la chaleur spécifique est
négative (un nuage de gaz qui se contracte gravitationnellement fait
spontanément apparaître des gradients de densité et de température).
La densité numérique d’un gaz de particules de masse nulle à la température T est donnée par:
n(T) = = g T 3
Le signe + au dénominateur correspond à la statistique de Fermi-Dirac
et le signe — à celle de Bose-Einstein. Le coefficient g vaut 1 pour
chaque degré de liberté d’un boson, mais seulement 3/4 pour un fermion
en raison du changement de signe dans le dénominateur de l’intégrale,
et z(3) = 1.202. La densité d’énergie est donnée par:
r(T) = = g’ T 4
Le coefficient g’ vaut 1 pour chaque degré de liberté d’un boson et 7/8
pour un fermion. On retrouve la loi de Stefan-Boltzmann en tenant
compte des 2 degrés de liberté du photon. Si le rayonnement est formé
de plusieurs types de bosons et de fermions (éventuellement à des
températures différentes Ti) on peut écrire:
r(T) = = geff(T) T 4 où geff =
Enfin l’entropie dans un volume a3 s’estime simplement à partir de la relation:
TdS = dU + PdV = a3 Þ S = g’ a3 T3
Pour une population de fermions et de bosons, la densité d’entropie est donnée par:
s(T) = heff(T) T 3 où heff =
Si toutes les particules ont la même température, heff = geff, mais
cela cesse d’être vrai s’il existe des populations de températures
différentes. C’est précisément le cas aujourd’hui, où les neutrinos
sont plus froids que les photons.
Appliquons cela à l’expansion de l’univers. Les distances augmentent au
cours du temps du facteur d’expansion a(t), les volumes augmentent
comme a3, et il est pratique de définir le covolume comme le volume
divisé par a3. L’expansion est adiabatique, ce qui implique que T µ 1/a
tant que heff ne change pas. Le nombre de particules par covolume (la
codensité) reste ainsi constante au cours de l’expansion. Mais la
relation entre T et a doit être réajustée chaque fois que des
particules deviennent non-relativistes ou s’annihilent.
Les notions précédentes s’étendent à des particules massives en
introduisant les degrés de liberté effectifs. L’intégrale en impulsion
fait alors intervenir la masse m des particules, et la densité
d’énergie s’écrit alors:
r(T) = geff(m/T) T 4
Degrés de libertéBien sûr geff(0) = 1 (ou 7/8), et geff(m/T) Æ 0 pour m
" T. Plus précisément, l’intégrale peut se calculer comme une série de
fonctions de Bessel (la série converge vite, heureusement), et on
trouve pour m " T:
n ‰ 3/2 exp{ —m/T} et r ‰ n m
Si on a plusieurs types de bosons et de fermions, on somme sur tous les
degrés de liberté effectifs. Le nombre de degrés de liberté effectifs
diminue quand la température baisse, au fur et à mesure que les
particules les plus massives cessent d’être relativistes.
Dans le modèle standard SU(3)¥SU(2)¥U(1), geff(T) passe de 427/4 pour
T>MW (12 bosons de jauge, 24 quarks et leptons et un doublet de
Higgs) à 29/4 pour T<me . Un saut brutal se passe lors de la
transition quarks-hadrons vers 250 MeV, quand les quarks u et d et les
gluons (geff = 37) sont remplacés par les pions (geff = 3). La
situation est évidemment la même pour une extension du modèle standard
tant qu’on est en dessous de la plus légère des particules
supplémentaires.
Brève histoire du temps
Connaissant maintenant les relations entre température T, paramètre
d’échelle a (ou redshift z) et temps cosmique t, on peut reconstituer
une histoire thermique de l’univers, dont les grandes lignes sont
données dans le diagramme suivant:
Histoire thermique de l'univers
La température des photons décroît en 1/a, sauf lorsqu’elle est
ralentie par l’injection de l’énergie libérée par la disparition de
particules par annihilation (baryon-antibaryon, électrons-positrons…).
4 - Rayon et âge d’un univers de Friedmann
Peut-on estimer le "rayon de l'univers" aujourd'hui a0 et l’expansion
maximale amax? En supposant nulle la constante cosmologique, l'équation
de Friedmann a la forme:
H02 = rc W0 - = H02 W0 - Þ a0 = = xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
L’expansion est maximale pour =0, soit:
= rmax = r0 3= H02 W0 3 Þ amax = H02 W0 a03 = xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Un rayon a correspond au temps t = H—1¥f(W) où la fonction f(W) est:
f(W) = W (W - 1)—3/2 — xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
On peut vérifier que f(W) < 2/3 pour W > 1. L’observation indique
que W0 < 2 ce qui implique t0 > H0-1[-1] (environ 0.57¥H0-1).
Dans le cas d’un univers k = - 1, on retrouve t = H-1 f(W) où la
fonction f(W) est cette fois comprise entre 2/3 et 1. Pour W0 Æ 0, t0 Æ
H0-1, pour W0 = 1, t0 = (2/3) H0-1, et pour W0 " 1, t0 " H0-1. Si la
densité d'énergie est essentiellement due au rayonnement, le facteur
2/3 Æ 1/2 .
Paramètres cosmologiques
Pour étudier la physique du Big-Bang, il nous faut connaître l’état
actuel de l’univers pour remonter le temps en s’appuyant sur les lois
de la physique. Cet état est essentiellement caractérisé par:
1) l’âge actuel t0 de l’univers
2) la vitesse d’expansion locale H0 = /a
3) la densité actuelle W0 = 8pG r0/3H02
4) le paramètre de décélération q0 = - a/2 mesurant le changement de H au cours du temps.
5) la constante cosmologique l0 † L/3H02
Les paramètres q0 et l0 n’ayant de conséquence qu’à grande distance et
pour des temps anciens, l’évolution des objets observés et les biais
observationnels compliquent leur mesure. Les meilleures estimations
viennent des relations avec les autres paramètres dans le modèle de
Friedmann, puisque:
2 = r — + Þ l0 = 1 - W0 + xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
= — + Þ q0 = W0 - l0 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Recombinaison, équilibre matière-rayonnement
Une fois connus les paramètres actuels de l'univers, ou du moins une
fois l'incertitude camouflée dans des coefficients h et W, nous pouvons
reconstruire le passé de l'univers, ou prédire son avenir, à partir des
équations de Friedmann, et d'un peu de physique atomique et nucléaire.
Une fois le cadre des températures, densités, vitesses d'expansion,
établi pour les différentes époques, on peut s'intéresser de plus près
à la physique qui s'y déroule.
Age de l’univers
Il existe plusieurs manières d'estimer l'âge de l'univers:
1) Utiliser des marqueurs radioactifs (l'analogue du 14C), généralement
des isotopes de l'uranium et du thorium produits en proportion
calculable dans l'explosion des supernovas. La proportion relative de
ces isotopes varie au cours du temps et Fowler estime ainsi à 10
milliards d'années l'époque de formation des plus anciens. Il faut y
ajouter la durée de formation et d'évolution de l'étoile génitrice, ce
qui aboutit à un univers vieux d’au moins 11 milliards d'années.
2) Utiliser les amas globulaires de notre galaxie. Les étoiles de ces
amas sont les plus anciennes (ce qu'indique leur composition chimique)
et les modèles d'évolution stellaire leur attribuent un âge de 16±2
milliards d'années.
3) Utiliser l’absence apparente de naines blanches de luminosité
inférieure à 3¥10-5 LO dans le disque de notre Galaxie. Cette absence
signifie que les naines blanches n’ont pas eu le temps de se refroidir
en dessous de cette valeur, et donne au disque un âge maximal de (10±2)
milliards d’années.
4) Utiliser le modèle du Big-Bang: t0 = H0-1¥f(W0) , où la fonction
f(W) est toujours plus petite que 1, comme on l’a vu, et on obtient
ainsi t0 < 3¥1017 h-1 s (10 h-1 milliards d'années).
Les différentes manières de déterminer l'âge de l'univers concordent,
ce qui renforce l'idée de Big-Bang, mais tout juste! Si la constante de
Hubble s'avérait proche de 100 km/s/Mpc (h ‰ 1), un univers
spatialement plat serait exclu en l’absence de constante cosmologique L.
Vitesse d'expansion de l'univers
La mesure de la valeur actuelle H0 de la constante de Hubble se fait en
principe en mesurant le redshift z de galaxies à des distances D de
plus en plus grandes, et en optimisant la relation z = H0¥D. Mais il y
a deux sources d'incertitudes:
™ Le redshift n'est pas entièrement d'origine cosmologique, les
galaxies ayant des mouvements propres, parfois importants ("chute
virgocentrique", "grand attracteur"). Il faut donc utiliser des sources
lointaines pour que le mouvement propre ne soit qu’une petite fraction
du flux de Hubble. De plus un décalage gravitationnel peut se
superposer dans le cas d'une source très massive.
™ La distance de galaxies lointaines est mesurée de manière indirecte,
par des méthodes plus ou moins fiables, calibrées sur les galaxies
proches où des céphéides sont observées, et les résultats divergents:
Méthode
H0
Tully-Fisher (Luminosité absolue des spirales µ [Vitesse de rotation] 4)
84 ± 10
Jacoby (Fonction de luminosité des nébuleuses planétaires supposée universelle)
80 ± 10
Tonry (Granularité apparente de la surface d’une galaxie µ 1/Distance2)
80 ± 10
Supernovas de type I (explosion d’une naine blanche atteignant la masse de Chandrasekhar)
60 ± 15
Supernovas de type II (explosion d’une étoile massive)
60 ± 10
Relation de de Vaucouleurs entre luminosité et nombre d’amas globulaires
85 ± 4
Décalage temporel entre images dédoublées par effet de lentille gravitationnelle
de 15 à 80
L’incertitude sur la valeur actuelle de H0 est intégrée dans les
équations de la cosmologie en écrivant H0 = 100 h km/s/Mpc, avec un
paramètre 0.4 < h < 1. Le temps de Hubble est alors H0-1 = 3¥1017
h-1 s = 1010 h-1 ans. Enfin, la valeur de la constante de Hubble fixe
la valeur de la densité critique, celle d'un univers spatialement plat
sans constante cosmologique: rc † 3H02/8pG = 2¥10-29 h2 g/cm3.
Densité de l'univers
Faisons l’inventaire du contenu de l’univers, en définissant Wi † ri/rc .
Rayonnement
Le rayonnement cosmologique est un rayonnement de corps noir à la
température de 2.73 K, et sa densité d'énergie rg est donnée par la loi
de Stefan:
rg = T4 = 4.4¥10-34 4 g/cm3 Þ Wg = 2.2¥10-5 h-2
Les autres sources de rayonnement électromagnétique sont négligeables
en comparaison: que ce soient les radio-sources, les étoiles
(rayonnement visible, infra-rouge ou ultra-violet), les sources de
rayons X ou g, la densité d'énergie de leur rayonnement n'est qu'une
petite fraction du rayonnement cosmologique. La luminosité moyenne du
ciel est voisine de 2.1¥10-10 h LO/pc3, ce qui donne une limite
rstarlight < 10-35 g/cm3 sur la densité d’énergie du rayonnement
stellaire. Le rayonnement comprend toutes les particules
ultra-relativistes, et donc les neutrinos si ceux-ci ont une masse
nulle. Chaque famille contribue de:
rn = T4 = 1.0¥10-34 4g/cm3 Þ Wn = 5.3¥10-6 h-2
Le facteur 7/8 vient, comme nous le verrons, de la différence entre les
statistiques de Fermi-Dirac et de Bose-Einstein, et les neutrinos ont
une température plus basse que les photons, car ces derniers ont été
réchauffés par l’annihilation e+e- à une époque où les neutrinos
étaient déjà découplés. Il n'est pas exclu que d’autres particules
ultra-relativistes soient aujourd'hui présentes en grand nombre et
contribuent à la densité d'énergie de l'univers, mais on n'en a aucune
indication observationnelle.
Matière non-relativiste
La masse contenue dans les étoiles est estimée à partir du rayonnement
de ces étoiles via un modèle d'évolution stellaire. La densité
correspondante, moyennée sur le volume observé, est:
rétoiles ‰ 10—32 g/cm3 Þ Wétoiles ‰ 0.003 h-2
La quantité de matière sous forme de gaz (surtout de l'hydrogène)
interstellaire est plus faible (cela se voit par l'intensité des raies
d'absorption dans le spectre d'étoiles ou de galaxies lointaines).
Par contre, il semble y avoir beaucoup de matière non-lumineuse. Par
exemple, une galaxie spirale est en rotation dans son plan, ce qui
assure son équilibre contre la force de gravitation. Mais la vitesse de
rotation est bien plus élevée que ce qui est nécessaire pour équilibrer
l’attraction gravitationnelle due à la seule matière lumineuse (gaz,
étoiles, poussières). On estime ainsi qu'une galaxie spirale possède 10
fois plus de matière non-lumineuse que de matière lumineuse. Un
résultat semblable est obtenu pour les galaxies elliptiques, à partir
de la dispersion de vitesse des étoiles qui est reliée au potentiel
gravitationnel par le théorème du viriel. Les mouvements à grande
échelle et la dynamique des amas de galaxies indique qu’à leur tour
ceux-ci possèdent environ 5 à 10 fois plus de matière que n'en
contiennent les galaxies. Par ailleurs, on n'a pas observé de
décélération de l'expansion, ce qui implique que la densité actuelle
n'est certainement pas très supérieure à la densité critique rc, au
plus un facteur 2. On aboutit ainsi à:
rmatière = 2¥10-29 Wmatière h2 g/cm3 avec 0.1 < Wmatière < 2
Egalité matière-rayonnement
La densité d'énergie est actuellement dominée par la matière
(particules non-relativistes), mais comme rmat µ a-3 et rray µ a-4,
celui-ci l'emporte quand a Æ 0, donc quand l'univers était plus jeune.
Les deux densités sont équivalentes au temps teq, pour un redshift zeq
. Pour z<zeq, l'univers est dominé par la matière et a(t) µ t2/3 ,
tandis que pour z>zeq, l'univers est dominé par le rayonnement et
a(t) µ t1/2. En utilisant le fait que z+1=a(t0)/a(t), le "point
d’équivalence" zeq est donné par:
rray(zeq) = rray(0) (zeq+1)4 = rmat(zeq) = rmat(0) (zeq+1)3
Þ zeq = — 1 = — 1 ‰ 25 000 W0 h2
L'âge correspondant est donné par:
teq = t0 (zeq+1)—3/2 ‰ 5¥1010 s W0 -3/2 f(W0) h-4
et la température par:
Teq = T0 (zeq+1) ‰ 7¥104 K W0 h2
Ce n'est pas très éloigné de la température d'ionisation de l'hydrogène
(13.6 eV ‰ 1.5¥105 K). La "recombinaison" du plasma d'électrons et de
protons en atomes d'hydrogène neutre a une conséquence astrophysique
majeure: le libre parcours moyen des photons devient très grand et
l'univers auparavant opaque au rayonnement devient brusquement
transparent. Les photons émis à ce moment-là n'ont pratiquement plus
aucune chance d'être absorbés par la suite et continuent donc de se
propager depuis cette époque. Ils forment le fond de rayonnement à 2.73
K .
En fait l'univers est opaque tant qu’une fraction des atomes
d’hydrogène est ionisée (‰5%), et les photons les plus énergétiques
(ceux de la queue de la distribution de Planck) cessent d’être
ionisants à une température bien plus basse, aux environs de Trec =
3300 K. Cette température est atteinte pour un redshift zrec = Trec/T0
— 1 ‰ 1200 au temps trec = t0 (zrec+1)-3/2 (environ 5¥1012 W0—1/2 h-1
s).
5 - Tests cosmologiques
Le modèle du Big-Bang prédit certaines relations entre des quantités en
principe observables comme les distances, les luminosités, les
redshifts, les densités… et ces relations peuvent être vérifiées (ou
prises en défaut) par l’observation: ce sont les tests cosmologiques.
Une fois connue la dépendance en t du facteur d’échelle a(t), on peut
calculer à quelle distance se trouve un objet observé avec un redshift
z (supposé cosmologique). Par exemple pour un univers plat, sans
constante cosmologique, et dominé par la matière, on a, en utilisant
les relations z + 1 = a(t0)/a(t1) = (t0/t1)2/3 et t0 = H0 :
Dpropre(t0) † a(t0) Dc = a(t0)= 2 H0-1 ‰ H0-1 z pour z " 1
On retrouve bien sûr la loi de Hubble z ‰ H0¥Dpropre. On peut aussi
tracer le diagramme de la luminosité apparente l (ou son logarithme la
magnitude apparente m) en fonction du redshift (diagramme de Hubble),
ou le diamètre apparent d en fonction du redshift. Si par exemple les
galaxies ont toutes la même luminosité intrinsèque L ou le même
diamètre intrinsèque d , elles doivent se répartir sur des courbes:
l = ( µ z-2 pour z " 1)
d = ( µ z-1 pour z " 1)
dans un univers de "poussière", sans constante cosmologique ni
courbure. Si la constante cosmologique ou la courbure ne sont pas
négligeables, le résultat est un peu plus compliqué à obtenir.
Confronter le résultat des observations à ces prédictions permet de
tester le modèle cosmologique correspondant, ou la validité de
l’hypothèse (discutable) que la luminosité ou le diamètre sont les
mêmes en tout lieu et en tout temps.
Un autre test cosmologique consiste à compter le nombre de galaxies
jusqu’à un redshift z: si leur densité comobile ne change pas au cours
du temps (donc s’il ne naît pas de nouvelle galaxie et s’il n’en
disparaît pas, par fusion par exemple), le nombre de galaxies observées
devrait être proportionnel au volume comobile jusqu’au redshift z:
N(z) µ 3 µ H0-3 3 ( µ z3 pour z " 1) xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Mesurer le redshift d’un objet éloigné est très difficile car on en
reçoit peu de photons, et on doit souvent se contenter de compter
simplement le nombre d’objets N(l) jusqu’à une certaine luminosité
apparente l au lieu d’un certain redshift z. En éliminant z, on obtient:
= xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Ce test se révèle plus facile à effectuer, mais il est malheureusement beaucoup moins discriminant que les précédents.
6 - Inflation
Malgré ses succès remarquables, le modèle standard du Big-Bang possède
des points inexpliqués. L'isotropie du rayonnement à 2.73K montre que
l'univers est remarquablement uniforme, sur des distances qui, selon le
modèle standard, ne sont pas causalement connectées. L'univers est
pratiquement plat aujourd'hui, alors que la courbure augmente avec le
temps. Enfin, la formation des galaxies par instabilité
gravitationnelle nécessite des fluctuations de densité initiales
suivant une distribution bien particulière, sans échelle, dite
distribution de Zel'dovich. Tout cela semble résulter de conditions
initiales particulièrement ad-hoc, ce qui est très désagréable, et pour
les expliquer on a eu recours aux effets quantiques de la gravitation,
au principe anthropique ou à l'inflation, qui postule une période
d'expansion ultra-rapide au début du Big-Bang.
Paradoxes
L'univers nous apparaît quasiment plat et homogène, et ce fut le point
de départ du modèle de Friedmann. Mais ce n'est pas "normal"…
Platitude
La densité moyenne de l'univers est aujourd'hui voisine de la densité
critique bien que, selon le Big-Bang "standard", elle jamais cessé de
s'en écarter. La courbure de l'univers aujourd'hui est inconnue, ce qui
se traduit par 0.1 < W(t0) < 2. Mais W(t)—1 augmente au cours du
temps. L'équation de Friedmann s'écrit encore:
rc [W(t)-1] = 2 [W(t)-1] = xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Comme a(t)/a(t0) = [t/t0]a, avec a = 1/2 ou 2/3 selon le cas, on a:
W(t)—1 = [W(t0)—1] 2-2a xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
W(t)—1 augmente donc comme t2/3 quand la matière domine, et comme t quand le rayonnement domine.
W(t0) < 2 Þ W(teq) - 1 < 10-5 Þ W(tnucl) - 1 < 10-15 Þ W(tPlanck) - 1 < 10-59
La densité initiale devait donc être incroyablement proche de la
densité critique pour qu'aujourd'hui encore on ne sache pas si
l'univers est ouvert ou fermé. Une autre manière de présenter les
choses est de dire que l'univers est "trop vieux": une courbure
initiale positive "normale" aurait conduit depuis très longtemps au
collapse final, une courbure négative à un univers beaucoup plus dilué
que celui que l'on voit. Si au contraire l'expansion initiale se fait à
densité constante, la densité critique se rapproche de la densité
moyenne, ce qui expliquerait leur proximité actuelle. Ce n'est pas un
problème mineur: une densité de un millionième supérieure à la densité
critique une seconde après le Big-Bang, et l'univers se serait
recontracté en moins d'un mois, une densité de un millionième
inférieure, et l'univers serait si dilué qu'aucune étoile ne se serait
formée.
Horizon
Les variations de température du rayonnement cosmologique sont si
faibles d'un point du ciel à un autre qu'on n'a que des bornes
supérieures. Et pourtant l'horizon au moment de son émission ne dépasse
pas une dizaine de milliradians. En effet, sa taille angulaire est q =
(Dc)1/(Dc)2 où (Dc)1 est la taille de l’horizon à la recombinaison
(distance parcourue par un signal entre le Big-Bang et trec) et (Dc)2
la distance parcourue par les photons depuis la recombinaison, en
coordonnées comobiles:
q = = = 1/3 ‰ 0.01 radian ‰ 1 degré
Il y a donc un problème de causalité: le rayonnement cosmologique
présente la même température sur toute la surface du ciel. Or seules
des régions de l'univers séparées de moins de 600 000 années-lumière au
moment où ce rayonnement a été émis ont pu entrer en contact et
uniformiser leurs températures. Or ces régions sont aujourd'hui
séparées de moins de 1 degré sur la surface du ciel, et l'isotropie
observée apparaît comme une coïncidence. Une expansion beaucoup plus
rapide dans les premiers instants agrandirait ces régions, et la
coïncidence n'en serait plus une.
Singularités topologiques
Les noeuds topologiques (murs, cordes, monopôles) sont reliés à ce
problème de causalité. Pour s'en débarrasser, il faut que l'horizon au
moment de leur formation soit beaucoup plus grand que dans le modèle
standard, ou encore que l'univers se dilate considérablement après leur
formation, les diluant de ce fait. Dans les deux cas, la probabilité
d'en avoir un à proximité peut diminuer suffisamment.
Germes de galaxies
La formation des galaxies ne se fait pas à partir de n'importe quel
type de fluctuations initiales. Harrison et Zel'dovich ont montré que
le spectre (par décomposition de Fourier) ne devait pas présenter
d'échelle intrinsèque. Cela peut être postulé comme condition initiale,
mais une motivation physique est préférable.
Origine du Big-Bang
Enfin on peut se demander la cause du Big-Bang, c'est à dire ce qui
cause l'expansion initiale (que la gravitation ne fait que ralentir).
Une phase initiale de de Sitter supprime doublement le problème:
l’univers n’a pas de commencement, et l’expansion y est accélérée…
Principe de l'inflation
L’idée fondamentale de l’inflation est qu’à un certain moment la
densité d’énergie était dominée par une densité constante (celle du
vide) et que l’expansion était alors exponentielle.
Repartons du lagrangien d’un champ scalaire j, sans préciser pour l’instant son identité:
L = gmnmj nj — V(j)
qui conduit à l’équation du mouvement + 3 H + jV(j) = 0 . Si le champ
j n’est pas au minimum du potentiel, quelqu’en soit la raison
(fluctuation, transition de phase…), il met un temps fini pour y
parvenir, et durant tout ce temps la densité d’énergie du vide n’est
pas nulle et peut entraîner une inflation.
Loin de l’équilibre, H est grand et l’évolution du champ j est lente et
l’inflation perdure. Près de l’équilibre au contraire le champ oscille
autour de la position d’équilibre, et l’énergie stockée dans ces
oscillations est peu à peu transmise à toute particule à laquelle j est
couplé, ce qui amortit les oscillations et réchauffe la particule en
question (et en principe tout l’univers).
Tout marche bien si le potentiel V(j) a la bonne forme, un plateau
assez long pour que l’inflation dure et un minimum assez creux pour que
le réchauffage soit efficace. Le problème est maintenant d’identifier
j. Initialement, il s’agissait du scalaire de Higgs d’une théorie de
grande unification, mais les exigences de l’inflation sur la forme du
potentiel se révèlent incompatibles avec les contraintes des GUT, en
particulier son couplage doit être extrêmement faible. On invente alors
un champ scalaire singulet de jauge, l’inflaton, dont le seul rôle est
de permettre une inflation correcte (quitte à lui trouver ensuite une
place dans un modèle unifiant).
On suppose soit que l'énergie du vide est nulle à l'équilibre mais que
l'univers s'est trouvé momentanément hors d'équilibre au moment du
Big-Bang (inflation "chaotique" de Linde), soit que l'équilibre varie
avec la température au cours d’une transition de phase (inflation de
Guth, modifiée par Steinhardt et Linde) et que son énergie diminue
brutalement à un certain moment, signant la fin de l'inflation.
Aucun modèle d’inflation n’est réellement satisfaisant, mais comme elle
explique les coïncidences de la version standard du Big-Bang, elle est
aujourd'hui acceptée par la plupart des cosmologistes bien qu'il soit
très difficile d'en construire un modèle explicite. Elle a également la
précieuse qualité de pouvoir être réfutée, car elle prédit une densité
moyenne de l'univers égale à la densité critique (à la précision des
mesures près), et les mesures devraient s'améliorer suffisamment dans
les années qui viennent pour que l'on sache si c'est bien le cas. Cela
impliquerait d'ailleurs que les 9/10 de la matière de l'univers soit
d'un type différent de celle que nous connaissons.
Le paradigme de l’inflation autorise un univers extrêmement inhomogène
à très très grande échelle, et de plus la physique peut être très
différentes dans différentes parties de l’univers (par exemple les
brisures de symétrie peuvent y être différentes, telles que SU(5) Æ
SU(4)¥U(1)).
Résidus des brisures de symétrie
La brisure spontanée d'une symétrie au cours de l'expansion peut
laisser derrière elle des résidus, des défauts topologiques, qui
peuvent jouer un rôle très important dans l'évolution de l'univers.
Murs
Supposons qu'il existe un champ scalaire j dont le lagrangien L possède
une symétrie discrète, une invariance sous j Æ —j, par exemple:
L = mj mj + m2 j2 - j4 -
Brisure de symétrie
A haute température, un terme correctif de l’ordre de - lT2j2/8
s'ajoute à L, le minimum du potentiel se trouve à j = 0 et la symétrie
j Æ —j est intacte. Quand la température baisse en dessous d’une
température "critique" Tc ‰ 2m/l , la symétrie se brise spontanément,
et le minimum se trouve à s = m/, chacune des deux valeurs possibles ±s
étant choisie aléatoirement.
Formation de "murs"
Certaines régions de l'univers ont donc s comme "vide" pour le champ j,
d'autres ont —s. Mais ces régions sont séparées par une zone où le
champ j passe de —s à s. Dans cette zone le potentiel varie de zéro à
zéro, mais en passant par la valeur m4/4l. Ce potentiel n'est pas autre
chose qu'une densité d'énergie du point de vue gravitationnel
Tmn = mjnj — L Þ Tmn = V(j)gmn pour un champ constant
Le facteur de conversion 1 GeV4 = 2.3¥1017 g/cm3 montre que cette
densité d'énergie est colossale: la densité dans ce "mur" atteint W ‰
1040 si l'échelle des masses est de l'ordre du GeV et le couplage de
0.1. Si un tel mur peut a priori être aussi grand que l’horizon au
moment de la transition de phase qui lui donne naissance, son épaisseur
est très faible. Elle est donnée par la résolution de l’équation du
mouvement:
Dj = V/j Þ j(z) = s th Þ
Ce mur est topologiquement stable, il peut se déplacer ou se déformer,
mais ne peut disparaître que par annihilation avec un "anti-mur" (un
mur dont les choix de minimum sont inversés de part et d’autre).
Toute symétrie discrète se brisant spontanément conduit à l'existence
de semblables murs séparant les régions qui ont choisi une possibilité
de celles qui ont choisi une autre. La taille de ces régions ne saurait
être supérieure à la taille de l'horizon au moment de la brisure de la
symétrie, ce qui permet de donner une valeur inférieure à la
contribution de ces murs à la densité d'énergie de l'univers. Il y a
toujours plusieurs dizaines d'ordres de grandeur d'excédent, et il faut
soit modifier le modèle pour éviter la brisure de symétries discrètes,
soit se débarrasser de ces murs (par inflation, par exemple).
Cordes
Les symétries continues conduisent aussi à des noeuds topologiques. Le
cas le plus simple conduit aux cordes cosmiques (rien à voir avec les
supercordes!), qui sont nettement plus acceptables, voire même
désirables… Soit une théorie de jauge U(1) de lagrangien:
L = DmjDmj† — FmnFmn + m2 j†j - (j†j)2 -
Formation de "cordes"
La symétrie U(1) est brisée spontanément, et le champ complexe jj prend
une valeur moyenne dans le vide non-nulle s = m/e—iq. Mais la direction
q de la brisure dans le plan (j,j†) n’est pas déterminée et peut varier
d’un point à un autre. La seule restriction est que j soit univalué, et
pour cela il suffit que q varie d’un multiple entier de 2p le long de
tout chemin fermé. S’il existe un chemin où q varie de 2p, il englobe
nécessairement une région où j = 0. Cette région est donc un élément
d’un tube de vide symétrique, ou "faux vide", qui est fermé ou infini
(sinon le chemin pourrait être déformé pour sortir de la région où j =
0). Tout comme les murs, la dimension transversale ( ‰ 1/m) est
beaucoup plus petite que leur longueur ( ‰ horizon), et on les appelle
des cordes cosmiques.
L’énergie (la masse) d’une corde par unité de longueur est m ‰ m2/l ‰
10-9 g/cm (m/1 GeV)2. Une corde grande comme l’horizon (1028 cm)
provenant d’une brisure de la symétrie de grande unification (m ‰ 1016
GeV) aurait une masse M ‰ 1051 g ‰ 1017 MO (la masse d’un superamas).
Géométrie autour d'une corde
Les effets gravitationnels d’une telle corde sont très intéressants:
l’espace-temps autour d’une corde est presque minkowskien, mais pas
tout à fait. En coordonnées cylindriques [t,z,r,q], la coordonnée
polaire est limitée à l’intervalle:
0 < q < 2p{1—4 [m/MPlanck]2}
Cette particularité conduit à des effets de lentille gravitationnelle,
et aussi à des fluctuations dans le rayonnement à 2.73 K (une
différence de température entre les 2 côtés de la corde). La
non-observation actuelle de telles fluctuations implique m < 10-5
MPlanck2. De plus une corde perturbe la distribution de matière dans
son sillage, ce qui pourrait être un germe de galaxies: beaucoup
d’études ont été consacrées à cette possibilité.
Monopôles
Les murs sont des défauts topologiques à 2 dimensions, les cordes à 1
dimension, mais il existe aussi des défauts topologiques à zéro
dimension, des points. Ce sont des monopôles magnétiques. Le cas le
plus simple utilise le groupe de jauge SO(3) et le lagrangien:
L = DmjaDmja — FmnFmn + m2 jaja - (jaja)2
qui conduit à une brisure spontanée de symétrie, et encore une fois
seul le module de sa est déterminé mais non son orientation (a) dans
SO(3). Une solution en "oursin" est possible, où le champ de Higgs est
de la forme sa = |s| à grande distance (est le vecteur unité dans
l’espace physique). Le champ j est nécessairement nul à l’origine et la
configuration est topologiquement stable (on ne peut pas peigner une
sphère). Le champ électromagnétique adopte alors une configuration
telle que les lignes de champ magnétique rayonnent à partir de
l’origine: d’où le nom de monopôle magnétique. La taille de ce monopôle
est d’ordre 1/m et sa masse mM est donc d’ordre m. Plus précisément,
elle dépend de a et de l, et varie entre m = MV/a et 1.8 fois cette
valeur (MV est la masse du boson de jauge massif qui apparaît après la
brisure de symétrie).
L’existence de configurations topologiques stables n’est pas toujours
possible. Si un groupe de symétrie G Æ H lors de la brisure, il faut
que l’application de la variété G/H sur la sphère soit non-triviale.
Cela est automatique s’il apparaît un facteur U(1) lors de la brisure.
L’existence de monopôles magnétiques est donc une conséquence
inévitable des théories de grande unification, dont l’échelle de masse
m = MGUT ‰ 1016 GeV implique que ce sont des objets très lourds!
Cela a immédiatement des conséquences cosmologiques désastreuses. La
brisure de la symétrie GUT ne peut pas être corrélée sur des distances
plus grandes que la taille dH de l’horizon à l’époque: le nombre de
monopôles est donc nM ‰ (1/dH)3 ‰ (MGUT2/MPlanck)3. La densité de masse
de ces monopôles serait alors actuellement:
rM ‰ mM 3 3 ‰ ‰ 3¥10-13 g/cm3
à peine 16 ordres de grandeurs au-dessus de la densité critique… Il
semble difficile que les monopôles s’annihilent assez vite avec des
antimonopôles pour résoudre cette difficulté, et la meilleure solution
semble le recours à l’inflation, qui dilate l’horizon au delà de
l’univers visible.
Textures
TexturesA la différence des murs, cordes et monopôles, une texture
n’est pas topologiquement stable. C’est aussi une région de l’univers
où la densité est un peu plus forte, mais à cause du terme de gradient
cette fois, et non du potentiel:
dr = (mj)2 + V(j) ‰ s2 / t2 ‰ s2 T4 / MPlanck2
Une texture se dénoue donc rapidement (comparé à l’âge de l’univers bien sûr), mais d’autres apparaissent continuellement:
L’intérêt vient de ce que l’on obtient naturellement un spectre "sans échelle" de Harrison-Zel’dovich:
dr/r ‰ s2 / MPlanck2 ‰ constante
comme le souhaitent les fabricants de galaxies (et comme le prévoit
aussi l’inflation). Mais à la différence de l’inflation, les spectres
de fluctuation consécutifs à des brisures de symétrie ont une
distribution non-gaussienne de dr/r qui pourrait favoriser l’obtention
de structures à très grande échelle (structures peut-être trop
accentuées d’ailleurs…).
7 - Baryons et matière noire
Asymétrie matière-antimatière
Dans le modèle standard du Big-Bang, on a toujours trop ou pas assez de
baryons. Appliquons en effet le calcul de la densité résiduelle aux
nucléons. La section efficace est en ce cas de l'ordre de 10-25 cm2, et
la température de découplage de l'ordre de 21 MeV (mp/Tdec ‰ 45), ce
qui conduirait à Wb h2 ‰ 10-11! On observe beaucoup plus de baryons que
cela. Une asymétrie entre nucléons et antinucléons (un excès de
nucléons pour être précis) doit donc être présente avant le découplage,
de l’ordre de (nB — n)/s ‰ 10-10. On peut postuler cette asymétrie
comme une condition initiale du Big-Bang, mais elle découle des
théories de grande unification. Sakharov a indiqué dès 1967 les
conditions nécessaires:
* Une théorie ne conservant pas le nombre baryonique (évidemment).
* Une théorie ne conservant pas C ni CP, sans quoi
les réactions augmentant le nombre baryonique seraient exactement
compensées par d'autres réactions le diminuant.
* Que ces réactions ne soient pas en équilibre thermique, sinon aucune asymétrie ne pourrait se développer.
Les théories de grande unification (GUT) remplissent les deux premières
conditions, et l'expansion de l'univers permet aux réactions de sortir
de l'équilibre (il arrive un moment où l'intervalle entre deux
collisions changeant le nombre baryonique est plus grand que le temps
de Hubble). L'asymétrie baryonique se développe dans le bref intervalle
entre la sortie de l'équilibre et le moment où l'univers est trop froid
pour que les réactions (qui utilisent les bosons super-lourds des GUT)
se produisent encore. Il existe de nombreuses théories de grande
unification concurrentes, et beaucoup de paramètres libres dans
chacune, ce qui empêche une prédiction de l'asymétrie baryonique. Par
contre, il est possible de reproduire l'asymétrie observée dans
certains modèles (pas tous).
Le mécanisme principal est une désintégration de bosons superlourds X
et : X Æ qq (rapport de branchement r) tandis que Æ avec un rapport de
branchement . La violation de C et de CP autorise r ‚ . Si on a
initialement autant de X que de , une asymétrie apparaît lors de la
désintégration:
‰ (r — ) ‰ ‰ 10-10
La violation de CP requise semble faible (r — ‰ 10-8), mais en fait
elle n’apparaît pas au 1° terme de la série de perturbations et il faut
aller à 2 ou 3 boucles pour obtenir une contribution différente à G(X Æ
qq) et à G(Æ ): par conséquent r — ‰ an avec n = 2 ou 3 au moins. Un
corollaire est qu’il ne peut y avoir beaucoup d’entropie générée depuis
la baryosynthèse.
La désintégration hors d’équilibre des bosons X et doit se faire à une
température T " mX (pour éviter les désintégrations inverses) mais avec
une densité nX ‰ ng pour générer une asymétrie suffisante. Le
découplage des X doit donc se faire alors qu’ils sont
ultra-relativistes, ce qui donne une contrainte sur leur masse:
mX > 1017 GeV
Pour les bosons de jauge, a ‰ 0.1, mais le couplage de Yukawa des Higgs
pourrait être plus faible et permettre une masse mX ‰ 1015 GeV. Tant
que les réactions sont en équilibre, non seulement aucune asymétrie
n’est générée, mais toute asymétrie préexistante est effacée! La
baryosynthèse due aux GUT génère donc la même asymétrie en tous les
points de l’univers. Autrement dit il n’y a pas de fluctuation locale
du nombre baryonique comparé au nombre de photons.
Plus récemment, on s'est rendu compte qu'il était possible qu'une
asymétrie matière-antimatière apparaisse dans le "modèle standard",
sans grande unification. Le modèle lui-même traite symétriquement
matière et antimatière, mais certaines configurations non triviales des
champs de jauge (instantons, sphalérons) conduisent peut-être à cette
asymétrie. Les calculs sont extrêmement délicats, et il n'y a pas
encore accord général.
Nucléosynthèse et machos
On n'observe pas assez de baryons: la nucléosynthèse primordiale
implique une densité moyenne de baryons supérieure à celle qui est
observée dans les étoiles ou sous forme de nuages de gaz:
Nucléosynthèse Þ Wb h2 = 0.01 ± 0.001 Observations Þ Wétoiles h2 ‰ 0.003
Si h = 0.5, il y a un désaccord d’un facteur 10. Où sont les baryons
manquants? Il semble y avoir beaucoup de matière sombre dans l'univers:
la dynamique des galaxies et des amas de galaxies indique que W est
compris entre 0.1 et 1 (avec de grandes incertitudes), les scénarios de
formation des galaxies sont meilleurs avec un W voisin de 1, et enfin
l'inflation conduit à W = 1. Les baryons contribuent certainement à
cette matière sombre, mais probablement pas à la totalité. Il y a
plusieurs possibilités:
* une composante très diffuse, sous forme de gaz
ionisé. Il manque le mécanisme qui ioniserait ce gaz (supernovas?),
mais c’est une direction de recherche très active.
* des étoiles très peu lumineuses parce qu'elles
sont trop légères pour que s'y allument les réactions thermonucléaires
(naines brunes ou Jupiters). Elles devraient rayonner dans l’infrarouge
(on les cherche), et également provoquer des effets de lentille
gravitationnelle en passant devant une étoile plus éloignée. Deux
expériences sont actuellement en cours pour détecter cet effet sur les
étoiles du Grand Nuage de Magellan: on attend de l’ordre de 1
événement/million d’étoiles/an dans ce projet MACHO (MAssive Compact
Halo Object).
* des étoiles presque éteintes (naines blanches)
sont moins vraisemblables car elles auraient produit beaucoup trop
d’élément lourds au cours de leur vie active (et seraient visibles dans
les galaxies éloignées vues telles qu’elles étaient autrefois).
* des trous noirs de plusieurs centaines de masses
solaires sont une possibilité encore ouverte (trop massifs pour avoir
laissé échapper ces éléments lourds, trop légers pour perturber
l’équilibre du disque galactique).
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